漫步数学分析七——集合的闭包

2023-01-18 10:40:01 买帖  | 投诉/举报

篇首语:本文由小编为大家整理,主要介绍了漫步数学分析七——集合的闭包相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

集合 A 的内部是A的最大开子集,同样地,我们也能构造一个包含 A 的最小闭集,这个集合就成为A的闭包(closure)并用 cl(A) A¯ 表示。

5 ARn ,集合 cl(A) 定义成所有包含 A 的闭集之交(所以根据定理3(ii)可得 cl(A) 也是闭的)。

例如 R1 中, cl((0,1])=[0,1] ,另外注意 A 是闭集当且仅当cl(A)=A

5 ARn ,那么 cl(A) A 加上所有A的聚点组成。

换句话说,,为了求出集合 A 的闭包,我们需要A加上所有不在 A 中的聚点,根据前面给出的实例,定理5在直观上比较明显。

1找出 R A=[0,1)2的闭包。

该集合的聚点是[0,1],所以闭包是 [0,1]2 ,这很明显是包含 A 的最小闭集。

2对于任意 ARn ,说明 Rncl(A) 是开集。

cl(A) 是闭集,那么它的补是开集。

3 cl(AB)=cl(A)cl(B) 成立吗?

答案为否。例如令 A=[0,1],B=(1,2] ,那么 AB= 并且 cl(A)cl(B)=1

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