漫步数学分析七——集合的闭包

篇首语：本文由小编为大家整理，主要介绍了漫步数学分析七——集合的闭包相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

集合 A 的内部是A的最大开子集，同样地，我们也能构造一个包含 A 的最小闭集，这个集合就成为A的闭包(closure)并用 cl(A) 或 A¯ 表示。

定义5 令 A⊂Rn ，集合 cl(A) 定义成所有包含 A 的闭集之交(所以根据定理3(ii)可得 cl(A) 也是闭的)。

例如 R1 中， cl((0,1])=[0,1] ，另外注意 A 是闭集当且仅当cl(A)=A，

定理5 令 A⊂Rn ，那么 cl(A) 由 A 加上所有A的聚点组成。

换句话说，，为了求出集合 A 的闭包，我们需要A加上所有不在 A 中的聚点，根据前面给出的实例，定理5在直观上比较明显。

例1：找出 R 中A=[0,1)∪2的闭包。

解： 该集合的聚点是[0,1]，所以闭包是 [0,1]∪2 ，这很明显是包含 A 的最小闭集。

例2：对于任意 A⊂Rn ，说明 Rn∖cl(A) 是开集。

解： cl(A) 是闭集，那么它的补是开集。

例3： cl(A∩B)=cl(A)∩cl(B) 成立吗？

解： 答案为否。例如令 A=[0,1],B=(1,2] ，那么 A∩B=∅ 并且 cl(A)∩cl(B)=1 。

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